Question

14．求函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的最小值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的定義域，從而由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答 解：由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x≥0}\\{{x}^{2}-5x+4≥0}\end{array}\right.$，
故函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的定義域為（-∞，0]∪[4，+∞），
易知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$在（-∞，0]上是減函數(shù)，
在[4，+∞）上是增函數(shù)；
且f（0）=0+2×2=4，f（4）=2$\sqrt{2}$+0=2$\sqrt{2}$；
故函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$+2$\sqrt{{x}^{2}-5x+4}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域的求法及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．