Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2n（n≥2）
（1）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n
（2）若{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，求出S_n并證明

1

2

≤S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=a_n-1+2n，得a_n-1=a_n-2+2（n-1），…，a₂=a₁+2•2，利用疊加法能求出a_n=n（n+1）．
（2）由

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)求和法求出Sn=1-

1

n+1

．由此能證明

1

2

≤Sn＜1．

解答： 解：（1）∵a_n=a_n-1+2n，
∴a_n-1=a_n-2+2（n-1），…，a₂=a₁+2•2
將這n-1個(gè)式子相加得：a_n=n（n+1）…（4分）
（2）∵

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（6分）
∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

，
∴Sn=1-

1

n+1

．…（8分）
∵n+1≥2，∴0＜

1

n+1

≤

1

2

，
∴

1

2

≤Sn＜1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意疊加法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．