Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等．
（1）求曲線C的方程； 
（2）是否存在正數m，使得過點M（m，0）且斜率k=1的直線與曲線C有兩個交點A、B，且滿足

FA

•

FB

＜0？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設曲線C上任意一點P（x，y），由題意知：

(x-1)2+y2

=x+1，（x＞0），由此能求出曲線C的方程．
（2）設過點M（m，0），（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l的方程為x=y+m，由

x=y+m y2=4x

，得y²-4y-4m=0，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設曲線C上任意一點P（x，y），
由題意知：

(x-1)2+y2

=x+1，（x＞0）
化簡，得y²=4x（x＞0）．
∴曲線C的方程是y²=4x，x＞0．
（2）設過點M（m，0），（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設l的方程為x=y+m，
由

x=y+m y2=4x

，得y²-4y-4m=0，
△=16+16m＞0，y₁+y₂=4，y₁y₂=-4m，①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)，
∵

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0，②
又x=

y2

4

，∴不等式②等價于

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0，③
由①式，不等式③等價于m²-6m+1＜0，
解得3-2

2

＜m＜3+2

2

，
∴m的取值范圍是（0，3+2

2

）．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和函數方程思想的合理運用．