Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2

Sn

-1，n∈N^*，數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1（n≥2）是首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列．
（1）求證數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列；
（2）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a₁=1，S_n≥1，由Sn-Sn-1=2

Sn

-1(n≥2)，得到

Sn

=

Sn-1

+1，由此能證明數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列．
（2）Sn=n2，a_n=2n-1，cn=(2n-1)(1-

1

2n

)=(2n-1)-

2n-1

2n

，由此利用錯位相減法和分組法語和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n=2

Sn

-1，n∈N^*，
∴由a1=S1=2

S1

-1，得a₁=S₁=1，又{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴S_n≥1，n∈N^*，
∵an=2

Sn

-1，∴Sn-Sn-1=2

Sn

-1(n≥2)，
∴(

Sn

-1)2=

Sn-1

，

Sn

=

Sn-1

+1，
∴數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）∵

Sn

=

S1

+(n-1)=n，∴Sn=n2，a_n=2n-1；
∵bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1-

1

2n

，
∴cn=(2n-1)(1-

1

2n

)=(2n-1)-

2n-1

2n

，
先求數(shù)列{

2n-1

2n

}的前n項(xiàng)和A_n，
∵An=

1

2

+

3

22

+

5

23

+

7

24

+…+

2n-1

2n

，

1

2

An=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
∴

1

2

An=

1

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

，

1

2

An=

3

2

-

2n+3

2n+1

，∴An=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=n2+3-

2n+3

2n

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．