Question

6．已知圓的方程為x²+y²=4，過點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T，直線ST恰好經(jīng)過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C與x軸交于S，Q點(diǎn)，已知點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{PS}•\overrightarrow{PQ}$=0，點(diǎn)A，B在橢圓C上且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線與橢圓相切，求得切線方程，由此得出a，b，進(jìn)而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先確定P所在的軌跡，再證出原點(diǎn)O到弦AB的距離為定值，然后確定弦AB長(zhǎng)度的最大值，因此就能得到三角形PAB面積的最大值．

解答 解：（1）x=2是x²+y²=4的一條切線，切點(diǎn)S（2，0），
設(shè)另一條切線為：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
∴d=$\frac{|4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，切線方程為：3x-4y+10=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+10=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{6}{5}$，y=$\frac{8}{5}$，即T（-$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$），
因此，k_ST=-$\frac{1}{2}$，∴直線ST：x+2y-2=0，
該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（2，0），（0，1），∴a=2，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）取S（2，0），Q（-2，0），∵P滿足$\overrightarrow{PS}•\overrightarrow{PQ}$=0，
∴點(diǎn)P在半徑r=2的圓上，圓的方程為：x²+y²=4，
又∵點(diǎn)A，B在橢圓C上且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
∴原點(diǎn)O到弦AB的距離為定值d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，證明過程：
∵OA⊥OB，故設(shè)A（mcosθ，msinθ），B（ncos（θ+$\frac{π}{2}$），nsin（θ+$\frac{π}{2}$）），其中m=|OA|，m=|OB|，
將A（mcosθ，msinθ），B（-nsinθ，ncosθ）的坐標(biāo)代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1得，
$\frac{m^2•cos^2θ}{4}$+m²sin²θ=1，------①；$\frac{n^2•sin^2θ}{4}$+n²cos²θ=1，------②
將$\frac{①}{m^2}$+$\frac{②}{n^2}$得，$\frac{1}{m^2}$+$\frac{1}{n^2}$=$\frac{5}{4}$，設(shè)OH⊥AB于H，
因此，原點(diǎn)O到AB的距離為d=|OH|=$\frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（定值），
又因?yàn)辄c(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為定值2，
所以，當(dāng)OP與OH共線反向時(shí)，△PAB的高達(dá)到最大，其最大值h_max=r+d=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
因此，當(dāng)?shù)走匒B的長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，△ABP的面積取得最大值，
設(shè)∠OAB=α，則|AB|=|AH|+|BH|=|OH|×（tanα+$\frac{1}{tanα}$），其中tanα∈[$\frac{1}{2}$，2]，
所以，|AB|∈[2|OH|，$\frac{5}{2}$|OH|]，即AB長(zhǎng)度的最大值為$\frac{5}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$，
所以，（S_△PAB）_max=$\frac{1}{2}$•|AB|_max×h_max=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×（2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=$\sqrt{5}+1$，
故△PAB面積的最大值為$\sqrt{5}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相切的條件、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，體現(xiàn)了參數(shù)法，轉(zhuǎn)化法和數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．