Question

已知點P在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b≥1）上運動，點Q在圓x²+y²=1上運動，|PQ|取值范圍為[m，n]，若[m，n]⊆[1，5]，則橢圓的離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由題意，|PQ|_min=b-1，|PQ|_max=a+1，可得m=b-1，n=a+1，利用|PQ|取值范圍為[m，n]，[m，n]⊆[1，5]，可得[b-1，a+1]⊆[1，5]，從而可求橢圓的離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，|PQ|_min=b-1，|PQ|_max=a+1，∴m=b-1，n=a+1．
∵|PQ|取值范圍為[m，n]，[m，n]⊆[1，5]，
∴[b-1，a+1]⊆[1，5]，
∴b-1≥1且a+1≤5，
∴b≥2且a≤4，∴

b

a

≥

1

2

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

≤

3

4

，
∴0＜e≤

3

2

．

點評：本題考查橢圓的離心率e的取值范圍，考查橢圓性質的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．