【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形, 平面,已知為線段的中點.
(I)求證: 平面;
(II)求平面與平面所成銳二面角的余弦角.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(I)連接 和 交于 ,連接 ,利用中位線定理得出 ,故而 平面 ;(II)求出 ,以 為原點建立坐標系,求出兩平面的法向量,計算法向量的夾角即可得出二面角的余弦值.
試題解析:(I)連接和交于點,連接,因為四邊形為正方形,所以為的中點.
因為為的中點,所以.
因為平面平面,
所以平面.
(II)因為平面平面,
所以.
因為為正方形,所以.
因為平面,
所以平面.
因為平面,所以.
所以以為原點,以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則.
因為平面平面,
所以.
因為,所以.
因為四邊形為正方形,
所以,
所以.
由四邊形為正方形,
得,
所以.
設平面的一個法向量為,又知,
由
令,得,
所以.
設平面的一個法向量為,又知,
由
令,得,
所以.
設平面與平面所成的銳二面角為,
又,
則.
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角的大小,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.
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【題目】已知圓: 和拋物線: , 為坐標原點.
(1)已知直線和圓相切,與拋物線交于兩點,且滿足,求直線的方程;
(2)過拋物線上一點作兩直線和圓相切,且分別交拋物線于兩點,若直線的斜率為,求點的坐標.
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【題目】如圖,DE∥BC,BC=2DE,CA⊥CB,CA⊥CD,CB⊥CD,F(xiàn)、G分別是AC、BC中點.
(1)求證:平面DFG∥平面ABE;
(2)若AC=2BC=2CD=4,求二面角E﹣AB﹣C的正切值.
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【題目】如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .
(Ⅰ)求cos∠CAD的值;
(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求BC的長.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,橢圓過點,直線交軸于,且, 為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設是橢圓的上頂點,過點分別作直線交橢圓于兩點,設這兩條直線的斜率分別為,且,證明:直線過定點.
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【題目】設函數(shù)f(x)=ax﹣(k﹣1)a﹣x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求k值;
(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)在[1,+∞)上的最小值為﹣2,求m的值.
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【題目】一個單位有職工800人,期中具有高級職稱的160人,具有中級職稱的320人,具有初級職稱的200人,其余人員120人.為了解職工收入情況,決定采用分層抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是( )
A.12,24,15,9
B.9,12,12,7
C.8,15,12,5
D.8,16,10,6
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設向量 =(a, ), =(cosC,c﹣2b),且 ⊥ .
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.
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【題目】如圖,正三角形ABC的邊長為2,D、E、F分別在三邊AB,BC和CA上,且D為AB的中點,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).
(1)當tan∠DEF= 時,求θ的大。
(2)求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時θ的值.
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