Question

12．如圖（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖所示（2）．

（1）求幾何體D-ABC的體積；
（2）求二面角D-AB-C的正切值；
（3）求幾何體D-ABC的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）由高和底面積，求得三棱錐B-ACD的體積即是幾何體D-ABC的體積．
（2）記AC中點(diǎn)為E，過E作EH⊥AB，連結(jié)DE，DH，證明∠DHE是二面角D-AB-C的平面角，即可求二面角D-AB-C的正切值；
（3）O為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連結(jié)DE，EO，DO，D-ABC的外接球的球心為O，半徑為2，即可求幾何體D-ABC的外接球的表面積．

解答 解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
取AC中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴三棱錐B-ACD的體積為：$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
由等積性知幾何體D-ABC的體積為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
（2）記AC中點(diǎn)為E，過E作EH⊥AB，連結(jié)DE，DH，
∵AD=DC，E為AC中點(diǎn)，
∴DE⊥AC，
∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，
∴DE⊥平面ACB，
∴DE⊥AB，
又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，
∴AB⊥平面DHE，
∴DH⊥AB，
∴∠DHE是二面角D-AB-C的平面角．
∵DE=$\sqrt{2}$，HE=1，
∴tan∠DHE=$\sqrt{2}$；
（3）O為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連結(jié)DE，EO，DO，
∵DE⊥平面ACB，DE=OE=$\sqrt{2}$，
∴DE⊥OE，DO=2．
又∵AO=BO=CO=2，
∴D-ABC的外接球的球心為O，半徑為2，
∴D-ABC的外接球的表面積為16π．

點(diǎn)評 本題通過平面圖形折疊后得立體圖形，考查空間中的垂直關(guān)系，重點(diǎn)是“線線垂直，線面垂直，面面垂直”的轉(zhuǎn)化；等積法求體積，也是常用的數(shù)學(xué)方法．