如圖,△ABC和△A1AC是正三角形,平面A1AC⊥底面ABC,A1B1⊥∥AB,A1B1=AB=2,
(I)求直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值大;
(II)已知點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn),在平面ABCD內(nèi)擱一點(diǎn)E,使DE⊥平面AB1C,求點(diǎn)E到AC和B的距離.
分析:(1)由題意及圖形,有已知的面面垂直得到空間中從同一定點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的直線進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系,在利用空間向量知識求出線面角;
(2)由題意及圖形利用線面平行的性質(zhì)進(jìn)和在三角形中進(jìn)而求解.
解答:解:∵平面A1AC⊥底面ABC,作A1O⊥AC于點(diǎn)O,
∴A1O⊥底面ABC.
又A1B1=AB=2,△ABC和△A1AC是正三角形,知∠ABC=∠A1AC=60°,
∴AO=1,OA1=OB=
3
,BO⊥AC(2分)
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則A(0,-1,0),B(
3
,0,0)
,A1(0,
3
,0)
,C(0,1,0),
AA1
=(0,1,
3
)

AA1
=
BB1
,可得B1(
3
,1,
3
)

AB
1
=(
3
,2,
3
)
,
AC
=(0,2,0)

設(shè)平面AB1C的法向量為
n
=(x,y,1)
,則
n
AB1
=
3
x+2y+
3
=0
n
AC
=2y=0
,
解得
n
=(-1,0,1)

cos<
AA1
n
>=
AA1
n
|
AA1
|•|
n
|
=
3
2
2
=
6
4

而AA1與平面AB1C所成角,即向量
AA1
與平面AB1C的法向量所成銳角的余角,
所以直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為
6
4
;

(Ⅱ)連接A1B,取AC中點(diǎn)O,連接A1O、BO,
易得A1O⊥AC,所以AC⊥平面A1OB,AC⊥A1B,又四邊形AA1B1B是正方形,所以AB1⊥A1B,
又A1B⊥AC,∴A1B⊥平面AB1C,過D作DF∥A1B,
很明顯DF交AB于E,此時點(diǎn)E到AC和B的距離分別是1、
3
3
2
點(diǎn)評:(1)此問重點(diǎn)考查了利用空間向量的知識求解線面角的三角函數(shù)值;
(2)此問重點(diǎn)考查了直線與平面平行求解點(diǎn)到線的距離,還考查了在三角形中求解兩點(diǎn)間的距離.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖為△ABC和一圓的重迭情形,此圓與直線BC相切于C點(diǎn),且與AC交于另一點(diǎn)D.若∠A=70°,∠B=60°,則
CD
的度數(shù)為
 

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A、
3
3
B、
3
C、
1
3
D、
2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

如圖,ABCAˊBˊCˊ的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線AAˊ、BBˊCCˊ交于點(diǎn)O,點(diǎn)O在平面ABC和平面AˊBˊCˊ之間,且而===,求

 

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