【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為
(1)若,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若為等腰直角三角形,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)弦經(jīng)過點(diǎn),過弦上一點(diǎn)作直線的垂線,垂足為點(diǎn),求證:“直線與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“為弦的中點(diǎn)”.
【答案】(1)(2)(3)證明見解析
【解析】
(1)因?yàn)辄c(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且,設(shè),
則 即可求得答案;
(2)設(shè),由,,可得:,,因?yàn)?,可得,結(jié)合已知,即可求得答案;
(3)因?yàn)?/span>過點(diǎn),設(shè)為:,點(diǎn),點(diǎn),其中點(diǎn),可得:,聯(lián)立直線與拋物線得,結(jié)合已知條件,根據(jù)充要條件定義,即可求得答案.
(1)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),且
設(shè),
則
解得:,即.
(2)設(shè),由,
可得:,
①
又等腰,得點(diǎn)在軸投影為、中點(diǎn),即:.
將,代入①得:,(舍去)
點(diǎn)坐標(biāo)為.
(3)過點(diǎn)
設(shè)為:,點(diǎn),點(diǎn),其中點(diǎn),
可得:
聯(lián)立直線與拋物線得,消掉
可得:
根據(jù)韋達(dá)定理可得:
設(shè)點(diǎn)處拋物線得切線為
聯(lián)立直線與拋物線得:,消掉
可得:
,可得:
過處切線方程為
化簡得
求切線與直線得交點(diǎn)
可得
軸,
與相切時(shí),為中點(diǎn)
以上各步驟,均可逆
“直線與拋物線相切”的一個(gè)充要條件是“為弦的中點(diǎn)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有著“中國碳谷”之稱的安徽省淮北市,名優(yōu)特產(chǎn)眾多,其中“塔山石榴”因其青皮軟籽、籽粒飽滿、晶瑩剔透、汁多味甘而享譽(yù)天下.現(xiàn)調(diào)查表明,石榴的甜度與海拔、日照時(shí)長、晝夜溫差有著極強(qiáng)的相關(guān)性,分別用表示石榴甜度與海拔、日照時(shí)長、溫差的相關(guān)程度,并對它們進(jìn)行量化:0表示一般,1表示良,2表示優(yōu),再用綜合指標(biāo)的值評定石榴的等級,若則為一級;若則為二級;若則為三級.近年來,周邊各地市也開始發(fā)展石榴的種植,為了了解目前石榴在周邊地市的種植情況,研究人員從不同地市隨機(jī)抽取了12個(gè)石榴種植園,得到如下結(jié)果:
種植園編號 | A | B | C | D | E | F |
種植園編號 | G | H | I | J | K | L |
(1)若有石榴種植園120個(gè),估計(jì)等級為一級的石榴種植園的數(shù)量;
(2)在所取樣本的二級和三級石榴種植園中任取2個(gè),表示取到三級石榴種植園的數(shù)量,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為,過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)設(shè)直線和的斜率分別為和,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
(1)證明:;
(2)若為棱上一點(diǎn),滿足,求銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過多年的努力,炎陵黃桃在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路,成為炎陵部分農(nóng)民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售,現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)黃桃進(jìn)行測重,其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)(單位:克),統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的黃桃中隨機(jī)抽取5個(gè),再從這5個(gè)黃桃中隨機(jī)抽2個(gè),求這2個(gè)黃桃質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該村的黃桃樹上大約還有100000個(gè)黃桃待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有黃桃均以20元/千克收購;
B.低于350克的黃桃以5元/個(gè)收購,高于或等于350克的以9元/個(gè)收購.
請你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn),與圓:相切于點(diǎn),且為線段中點(diǎn),若這樣的直線恰有條,則的取值范圍是
A. B. C. D.
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