Question

【題目】如圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，那么，當(dāng)小圓這樣滾過(guò)大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)某時(shí)刻兩圓相切于點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)所處的位置為點(diǎn)，以切點(diǎn)在如圖上運(yùn)動(dòng)為例，記直線與此時(shí)小圓的交點(diǎn)為，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算，可知小圓的圓弧與圓弧的長(zhǎng)相等，可得點(diǎn)與點(diǎn)重合，即動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，同理可知，此時(shí)點(diǎn)在與垂直的線段上運(yùn)動(dòng)，再通過(guò)觀察四個(gè)選項(xiàng)可得答案.

如圖所示：

由題意可知，小圓總與大圓相內(nèi)切，且小圓總經(jīng)過(guò)大圓的圓心，

設(shè)某時(shí)刻兩圓相切于點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)所處的位置為點(diǎn)，

則大圓圓弧與小圓轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧相等，

以切點(diǎn)在如圖上運(yùn)動(dòng)為例，記直線與此時(shí)小圓的交點(diǎn)為，

記，則，

所以，

所以大圓圓弧的長(zhǎng)為，小圓圓弧的長(zhǎng)為，

所以，

所以小圓的圓弧與圓弧的長(zhǎng)相等，

所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，即動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，

同理可知，此時(shí)點(diǎn)在與垂直的線段上運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)在其它位置類似可得，、的軌跡為互相垂直的線段.

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)符合.

故選：A.