Question

小明早上從家里出發(fā)到學(xué)校上課，如圖所示，有兩條路線可走，且走哪條路線的可能性是相同的，圖中A、B、C、D處都有紅綠燈，小明在每個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的概率都是

1

3

，且各個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，每次遇到紅燈都需等候10秒．
（1）求小明沒有遇到紅燈的概率；
（2）記小明等候的總時(shí)間為ξ，求ξ的分布列并求數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）記“小明沒有遇到紅燈”為事件A，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式能求出小明沒有遇到紅燈的概率．
（II）由題可知：ξ=0，10，20，30，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列并求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）記“小明沒有遇到紅燈”為事件A，
則P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)3+

1

2

×(1-

1

3

)2=

10

27

…（4分）
（II）由題可知：ξ=0，10，20，30 …（6分）
P(ξ=0)=

10

27

，
P(ξ=10)=

1

2

C

1 3

1

3

(1-

1

3

)2+

1

2

C

1 2

1

3

(1-

1

3

)=

4

9

…（8分）
P(ξ=20)=

1

2

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)+

1

2

C

2 2

(

1

3

)2=

1

6

…（10分）
P(ξ=30)=

1

2

C

3 3

(

1

3

)3=

1

54

…（12分）
∴ξ的分布列：

	0	10	20	30
P	10 27	4 9	1 6	1 54

∴E（ξ）=0×

10

27

+10×

4

9

+20×

1

6

+30×

1

54

=

25

3

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．