Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x+1

-

a

2

（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）設(shè)x₁＞x₂＞0，求證

x1-x2

lnx1-lnx2

＜x₁+x₂．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)得到f′（1），再求出f（1）的值，利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程；
（2）由原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在（0，+∞）上大于等于0恒成立得到a≤x+

1

x

+2對(duì)x∈（0，+∞）上恒成立，然后利用基本不等式求得不等式右邊的最小值，則a的范圍可求；
（3）利用分析法把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明

x1

x2

-1＜(

x1

x2

+1)ln

x1

x2

，令

x1

x2

=t (t＞1)換元后引入輔助函數(shù)h（t）=（t+1）lnt-t+1（t＞1），然后利用導(dǎo)數(shù)證明．

解答： （1）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+

2

x+1

-1，
f′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

 （x＞0），
∴k=f′(1)=

1

2

．
由f（1）=0，
∴求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為x-2y-1=0；
（2）解：∵f（x）=lnx+

a

x+1

-

a

2

，
∴f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

(x+1)2-ax

x(x+1)2

 (x＞0)．
由題意得（x+1）²-ax≥0對(duì)x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a≤x+

1

x

+2對(duì)x∈（0，+∞）上恒成立，
∴a≤(x+

1

x

+2)min，
∵x+

1

x

+2≥2

x• 1 x

+2=4 （當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），
∴a≤4；
（3）證明：∵x₁＞x₂＞0，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂＞0．
要證

x1-x2

lnx1-lnx2

＜x1+x2，
只要證x₁-x₂＜（x₁+x₂）（lnx₁-lnx₂），
即證x1-x2＜(x1+x2)ln

x1

x2

，
也就是證

x1

x2

-1＜(

x1

x2

+1)ln

x1

x2

．
令

x1

x2

=t (t＞1)，不等式化為t-1＜（t+1）lnt （t＞1），
令h（t）=（t+1）lnt-t+1（t＞1）．
只要證h（t）=（t+1）lnt-t+1＞0成立，
由（1）知當(dāng)a=2時(shí)，h（t）=f（t）（t+1），
只要證f(t)=lnt+

2

t+1

-1＞0成立，
當(dāng)a=2時(shí)，由（2）可知函數(shù)f（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（t）＞f（1）=0，
∴x₁＞x₂＞0時(shí)，

x1-x2

lnx1-lnx2

＜x1+x2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．訓(xùn)練了利用換元法和構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，是壓軸題．