Question

如圖，在三棱錐中，，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）證明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

本題主要考查空是點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

方法一：

   （I）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz

則，

 

，由此可得，所以

，即

（II）解：設(shè)

設(shè)平面BMC的法向量，

平面APC的法向量

由

得

即

由即

得

由

解得，故AM=3。

綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。

方法二：

（I）證明：由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得

又平面ABC，得

因?yàn)?sub>，所以平面PAD，

故

（II）解：如圖，在平面PAB內(nèi)作于M，連CM，

 

由（I）中知，得平面BMC，

又平面APC，所以平面BMC平面APC。

在

在，

在

所以

在

又

從而PM，所以AM=PA-PM=3。

綜上所述，存在點(diǎn)M符合題意，AM=3。