Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+x，其定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]（m＜n），則m-n=-4．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[3m，3n]，我們易判斷出函數(shù)在[m，n]的單調(diào)性，進而構(gòu)造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
如果存在滿足要求的m，n，則必需3n≤$\frac{1}{2}$，
∴n≤$\frac{1}{6}$．
從而m＜n≤$\frac{1}{6}$＜1，而x≤1，f（x）單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（m）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+m=3m\\ f（n）=-\frac{1}{2}{n}^{2}+n=3n\\ m＜n\end{array}\right.$，
可解得m=-4，n=0滿足要求．
∴m-n=-4，
故答案為：-4

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．