Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求f(x)的最大值；

（2）設(shè)函數(shù)，若對任意實數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為，求a的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，，.求證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）證明見解析

【解析】

（1）首先求函數(shù)的導數(shù)，并判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值；

（2），先求函數(shù)的導數(shù)，當時，函數(shù)的最大值是，不滿足條件，當時，令有，比較極值點大小，討論單調(diào)性，求的取值范圍；

（3），由（1）知：，即有不等式，由已知條件知，則，根據(jù)不等式的傳遞性得到證明.

（1）的定義域為，

當時，單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞減，

所以

（2）由題意

①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，不存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最大值為.

②當時，令有，

(i)當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然符合題意.

(ii)當，即時，函數(shù)再和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，且，

要使對任意實數(shù)，當時，函數(shù)的最大值為，只需，解得又所以此時實數(shù)的取值范圍是.

(iii)當，即時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要對任意實數(shù),當時，函數(shù)的最大值為，需代入化簡得，①

令，

因為恒成立，

故恒有，所以時，①式恒成立，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（3）由題意，正項數(shù)列滿足：

由（1）知：，即有不等式

由已知條件知

故

從而當時，

所以有對也成立，

所以有