Question

如圖：在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱錐N-AMC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)四邊形ABCD為含有60°角的菱形，證出△ABC為正三角形，從而得到BC⊥AM．由PA⊥平面ABCD，證出PA⊥BC，結(jié)合線面垂直的判定定理，證出BC⊥面AMN．
（Ⅱ）由NA⊥平面AMC，NA=1，S_△AMC=

1

2

S△ABC=

1

2

×(

1

2

×2×2×sin60°)=

3

2

，能求出三棱錐N-AMC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC為正三角形，得AB=BC=CA
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN內(nèi)的相交直線，
∴BC⊥面AMN．
（Ⅱ）解：∵∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2，
∴NA⊥平面AMC，NA=1，
S_△AMC=

1

2

S△ABC=

1

2

×(

1

2

×2×2×sin60°)=

3

2

，
∴三棱錐N-AMC的體積：
V=

1

3

×S△AMC×NA=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐中證明線面垂直，并探索線面平行的存在性問(wèn)題．著重考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)和空間線面平行與線面垂直的判定等知識(shí)，屬于中檔題．