Question

6．f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1（其中a∈R，e為自然數(shù)的底數(shù)），g（x）=f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）在R上存在最小值，且最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）求證：當(dāng)x≥0時(shí)，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，再求g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0，a＞0，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）的單調(diào)區(qū)間，可得最小值，進(jìn)而解得a=1；
（3）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，結(jié)合x-sinx的大小，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-ax-1，
g′（x）=e^x-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，x＞lna時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
x＜lna時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有a≤0時(shí)，g（x）的增區(qū)間為R；
a＞0時(shí)，g（x）的增區(qū)間為（lna，+∞），減區(qū)間為（-∞，lna）；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）遞增，無最小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在x=lna處取得極小值，也為最小值，
即有g(shù)（lna）=a-alna-1，
令h（a）=a-alna-1，h′（a）=1-（1+lna）=-lna，
0＜a＜1時(shí)，h（a）遞增；a＞1時(shí)，h（a）遞減．
即有h（a）≤h（1）=0，
由g（x）的最小值為0，即有a=1；
（3）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，
即有e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$x²，
e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$xsinx=$\frac{1}{2}$x（x-sinx），
令p（x）=x-sinx，x≥0，p′（x）=1+cosx≥0，p（x）在x≥0遞增，
即有p（x）≥p（0）=0，即x≥sinx，
則e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥0，
故當(dāng)x≥0時(shí)，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值和最值，考查分類討論的思想方法和不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想方法，屬于中檔題．