Question

9．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．
（1）求直線l和圓C的普通方程，
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t即可得出普通方程．
由圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）由（x-2）²+y²=4可得圓心C（2，0），半徑r=2．求出圓心C到直線l的距離d．利用直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)=2$\sqrt{{r}^{2}-ax16vdl^{2}}$．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去t化為x-y-3=0，可得直線l的普通方程；
由圓C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（2）由（x-2）²+y²=4可得圓心C（2，0），半徑r=2．
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)=2$\sqrt{{r}^{2}-9iir9zo^{2}}$=$2\sqrt{4-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線的參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)公式用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．