Question

已知△ABC的三個頂點都在橢圓

x2

20

+

y2

16

=1上，點A的坐標為（0，4），若△ABC的重心是橢圓的右焦點，求直線BC的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出點B、C的坐標，由重心坐標公式求出弦BC中點坐標；
再由B、C是橢圓上的點，代入橢圓方程，作差求出BC的斜率，即可寫出BC的直線方程．

解答： 解：設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
又∵橢圓的右焦點為F₂（2，0），
由重心坐標公式得

0+x1+x2 3 =2 4+y1+y2 3 =0

，
∴

x1+x2 2 =3 y1+y2 2 =-2

，
即弦BC的中點為（3，-2）；
又∵

x12 20 + y12 16 =1 x22 20 + y22 16 =1

，
∴16（x₁+x₂）（x₁-x₂）+20（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即16×2×3（x₁-x₂）+20×2×（-2）（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=

96

80

=

6

5

，
即kBC=

6

5

；
∴直線BC的方程為y-（-2）=

6

5

（x-3），
即6x-5y-28=0．

點評：本題考查了直線與橢圓的應用問題，也考查了三角形的重心坐標公式以及中點的坐標公式的應用問題，是中檔題．