Question

已知等式（x²+2x+2）5=a₁+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中
a_i（i=0，1，2，…，10）為實(shí)常數(shù)．求：
（1）

10

n=1

a_n的值；
（2）

10

n=1

na_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,壓軸題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）通過x=-1求出a₁，然后通過x=0求出a₁+a₁+a₂+…+a₅+a₁₀，即可求解

10

n=1

a_n．
（2）利用二項(xiàng)式定理展開表達(dá)式，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)且x=0推出所求表達(dá)式的值，

解答： 解：（1）在（x²+2x+2）⁵=a₁+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰中，
令x=-1，得a₁=1．（2分）
令x=0，得a₁+a₁+a₂+…+a₉+a₁₀=2⁵=32．（4分）
所以

10

n=1

a_n=a₁+a₂+…+a₁₀=31．（5分）
（2）等式（x²+2x+2）⁵=a₁+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰兩邊對(duì)x求導(dǎo)，
得5（x²+2x+2）⁴•（2x+2）=a₁+2a₂（x+1）+…+9a₉（x+1）⁹+10a₁₀（x+1）⁵．（7分）
在5（x²+2x+2）⁴•（2x+2）=a₁+2a₂（x+1）+…+9a₉（x+1）⁹+10a₁₀（x+1）⁵中，
令x=0，整理，得

10

n=1

na_n=a₁+2a₂+…+9a₅+10a₁₀=5•2⁵=160．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及賦值法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．