Question

設(shè)函數(shù)f（θ）=

a

•

b

，向量

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（sinθ，

3

sinθ+2cosθ），其中角θ的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點P（x，y），且0≤θ≤π．
（1）若點P的坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

），求f（θ）的值；
（2）若點P（x，y）為平面區(qū)域Ω

x+y≥1 x≤1 y≤1

上的一個動點，試確定θ的取值范圍，并求f（θ）的最小值和最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,平面向量數(shù)量積的運算

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式，建立條件關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論．
（2）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到f（θ）的最小值和最大值．

解答： 解：（1）由P(

1

2

，

3

2

)且0≤θ≤π得θ=

π

3

；
f（θ）=

a

•

b

=sin2θ+

3

sinθcosθ+2cos2θ=1+cos2θ+

3

2

sin2θ=

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ+

3

2

=sin(2θ+

π

6

)+

3

2

，f(

π

3

)=sin(

2π

3

+

π

6

)+

3

2

=2．
（2）如圖，作出平面區(qū)域Ω
由圖形可得θ∈[ 0 ，

π

2

 ]，
f(θ)=sin(2θ+

π

6

)+

3

2

，
∵θ∈[ 0 ，

π

2

 ]，
∴2θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴f（θ）的最小值=f(

π

2

)=1；  
f（θ）的最大值=f(

π

6

)=

5

2

．

點評：本題主要三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用平面向量的數(shù)量積公式進(jìn)行化簡是解決本題的根據(jù)，注意線性規(guī)劃的應(yīng)用．