Question

【題目】已知橢圓的方程為，兩焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)、是直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且.求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，可以采用待定系數(shù)法，即根據(jù)已知條件列方程組，解方程組，就可以求出橢圓的方程，另外本題也可以利用橢圓定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，即，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可以求出的值，這樣也可以得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）本問(wèn)考查直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題，由于直線(xiàn)與橢圓相切，因此通過(guò)聯(lián)立方程，消元，所得一元二次方程滿(mǎn)足判別式，可以得到之間的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的問(wèn)題，接下來(lái)分別求出兩焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，根據(jù)四邊形的面積為，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的值，由圖形，過(guò)點(diǎn)向作垂線(xiàn)，垂足為，則，而，于是可以將四邊形的面積表示為關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出最大值.

試題解析：（1）依題意，點(diǎn)在橢圓．

∵，

又∵，∴．

∴橢圓的方程為.

（2）將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程中，得

.

由直線(xiàn)與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知， ,

化簡(jiǎn)得： .

設(shè)，

∵，

.

∴，

四邊形的面積，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，故.

所以四邊形的面積的最大值為.