Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且滿足f(x)＝f(x＋3)，f(－2)＝－3.若數(shù)列{an}中，a1＝－1，且前n項(xiàng)和Sn滿足＝2×＋1，則f(a5)＋f(a6)＝________．

Answer 1

【答案】3

【解析】∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.

∵f(x)＝f(x＋3)，

∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)．

∵Sn＝2an＋n，

∴Sn－1＝2an－1＋(n－1)(n≥2)，

兩式相減并整理得an＝2an－1－1，即an－1＝2(an－1－1)(n≥2)，

∴數(shù)列{an－1}是以2為公比的等比數(shù)列，

首項(xiàng)為a1－1＝－2，

∴an－1＝－2×2n－1＝－2n，an＝－2n＋1，

∴a5＝－31，a6＝－63，

∴f(a5)＋f(a6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3.