Question

12．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[4，12]時(shí)，求f（x）的值域；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)的圖象，分別求得ω，A，φ的值，從而可求得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)x∈[4，12]，求出相位角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的值域；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)的最小值為-4，
可得A=4，
∵$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{ω}$=6-（-2）=8，
∴T=16，ω=$\frac{π}{8}$，
由-2×$\frac{π}{8}$+φ=2kπ+π，k∈Z，|φ|＜π
解得φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴y=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）；
（2）∵x∈[4，12]時(shí)，
∴$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴y=sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴y=-4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，4]，
∴當(dāng)x∈[4，12]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-2$\sqrt{2}$，4]．
（3）$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[2+16k，10+16k]，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2+16k，10+16k]，k∈Z，
$\frac{π}{8}$x-$\frac{3π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[10+16k，18+16k]，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[10+16k，18+16k]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．