Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
（1）若b_n=a_n-n（n∈N^*），求證數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-n-1=2（a_n-n），由此能證明數(shù)列{b_n}成等比數(shù)列．
（2）由$_{n}={a}_{n}-n={2}^{n}$，得${a}_{n}={2}^{n}+n$，由此利用公組求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和．

解答 證明：（1）∵{a_n}滿(mǎn)足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
∴a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-n-1=2（a_n-n），（n∈N^*）
∵b_n=a_n-n（n∈N^*），a₁-1=2，
∴數(shù)列{b_n}成以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得$_{n}={a}_{n}-n={2}^{n}$，
∴${a}_{n}={2}^{n}+n$，
∴S_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=${2}^{n+1}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和分組求和法的合理運(yùn)用．