Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；
（2）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取AC的中點(diǎn)M，連接OM，ME，OE，直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，由此能求出異面直線AB與CD所成角的余弦值．
（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h，由V_E-ACD=V_A-CDE，能求出點(diǎn)E到平面的距離．

解答： （1）解：取AC的中點(diǎn)M，連接OM，ME，OE
由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB，OE∥DC，
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．
在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，
∵OM是Rt△AOC斜邊AC上的中線，
∴OM=

1

2

AC=1，
∴cos∠OEM=

2

4

．
（2）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE
∴

1

3

h•S△ACD=

1

3

•AO•S△CDE，
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S△ACD=

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

，
而AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

∴h=

AO•S△CDE

S△ACD

=

21

7

，
∴點(diǎn)E到平面的距離為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．