Question

設函數(shù)f（x）=e^x-1+

a

x

（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值，求a的值；
（2）在（1）條件下，若函數(shù)g（x）=f（x）+b在（0，+∞）上有零點，求b的最大值；
（3）若f（x）在（1，2）上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用極值點處的導數(shù)為零列方程求a，但勿忘驗證；
（2）先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最后利用極值的符號，端點處函數(shù)值的符號結合圖象來求解；
（3）即該函數(shù)在（1，2）上導數(shù)恒為正或恒為負，最終轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1-

a

x2

，又函數(shù)f（x）在x=1處有極值，
∴f'（1）=0，a=1，經(jīng)檢驗符合題意．
（2）g'（x）=e^x-1-

1

x2

，
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當x=1時，g'（x）=0，
當x∈（1，+∞）時g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
∴g（x）在x=1時取得極小值g（1）=2+b，
依題意g（1）≤0，∴b≤-2，∴b的最大值為-2；
（3）f'（x）=e^x-1-

a

x2

，當f （x）在（1，2）上單調(diào)遞增時，e^x-1-

a

x2

≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≤x²e^x-1，令h（x）=x²e^x-1，則h'（x）=e^x-1（ x²+2 x）＞0在[1，2]上恒成立，即h（x） 在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴h（x） 在[1，2]上的最小值為h（1）=1，∴a≤1；
當f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減時，同理a≥x²e^x-1，
h（x）=x²e^x-1在[1，2]上的最大值為h（2）=4e，∴a≥4e；
綜上，實數(shù)a的取值范圍為a≤1或a≥4e；

點評：強調(diào)第一點，利用極值點處函數(shù)值求字母要驗證，第二點，要準確理解單調(diào)函數(shù)的概念，同時此類問題要轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題作為落腳點．