Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x++2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0,1）對(duì)稱.

（1）求f（x）的解析式;

（2）若g（x）=x2·[f（x）-a],且g（x）在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求曲線關(guān)于一點(diǎn)A（0,1）對(duì)稱的曲線的解析式，可設(shè)是對(duì)稱軸線上的任意一點(diǎn)，利用對(duì)稱性求出關(guān)于A（0,1）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，把代入已知函數(shù)解析式即可得的解析式；（2）由（1）是三次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，這樣由題意g'（x）=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立，即對(duì)x∈[1,2]恒成立，由此只要求得的最小值即可得的范圍．

試題解析：（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A（0,1）的對(duì)稱點(diǎn)P'（-x,2-y）在h（x）的圖象上,

∴2-y=-x+ +2,∴y=x+,即f（x）=x+

（2）g（x）=x2·[f（x）-a]=x3-ax2+x,

又g（x）在區(qū)間[1,2]上為增函數(shù),

∴g'（x）=3x2-2ax+1≥0在[1,2]上恒成立,

即2a≤3x+對(duì)x∈[1,2]恒成立.

不妨令r（x）=3x+,

由于函數(shù)r（x）=3x+在[1,2]上單調(diào)遞增,

故r（x）min=r（1）=4.于是2a≤4,a≤2.