Question

如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，設(shè)AC與BD相交于點O，若∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：FC∥平面EAD；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，可得平面FBC∥平面EAD，由此能夠證明FC∥平面EAD；
（2）證明FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．設(shè)AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，求得平面BFC、平面AFC的法向量，由此能求出二面角A-FC-B的余弦值．

解答： （1）證明：因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF．
因為AD?平面FBC，DE?平面FBC，
所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC…（2分）
又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，
所以平面FBC∥平面EAD
又FC?平面FBC，
所以FC∥平面EAD…（4分）
（2）解：連接FO、FD，則
因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF為等邊三角形，
因為O為BD中點．所以FO⊥BD，
又因為O為AC中點，且FA=FC，
所以AC⊥FO
又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD…．（6分）
由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz
設(shè)AB=2，因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，OB=1，OA=OF=

3

，
所以O(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，F(xiàn)(0，0，

3

)…..（8分）
所以

CF

=（

3

，0，

3

），

CB

=（

3

，1，0），
設(shè)平面BFC的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則有

3 x+ 3 z=0 3 x+y=0

，令x=1，則

n

=（1，-

3

，1）
因為BD⊥平面AFC，所以平面AFC的一個法向量為

OB

=（0，1，0）…．（10分）
因為二面角A-FC-B為銳二面角，設(shè)二面角的平面角為θ
則cosθ=|

n • OB

| n || OB |

|=

15

5

，
所以二面角A-FC-B的余弦值為

15

5

…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直、直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，注意向量法的合理運用．