正實(shí)數(shù)x，y，z滿足9xyz+xy+yz+zx=4，求證：
（1）xy+yz+zx≥
4
3
；
（2）x+y+z≥2．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：（1）記t=
xy+yz+xz
3
，由于x，y，z＞0．利用平均不等式xyz=(
3xy•yz•xz
)
3
2
≤(
xy+yz+zx
3
)
3
2
，化簡整理即可得出．（2）利用（x+y+z）2≥3（xy+yz+zx）=4，即可得出．
解答： 證 （1）記t=
xy+yz+xz
3
，∵x，y，z＞0．
由平均不等式xyz=(
3xy•yz•xz
)
3
2
≤(
xy+yz+zx
3
)
3
2

于是4=9xyz+xy+yz+xz≤9t3+3t2，
∴（3t-2）（3t2+3t+2）≥0，而3t2+3t+2＞0，
∴3t-2≥0，即t≥
2
3
．
∴xy+yz+zx≥
4
3
．
（2）又∵（x+y+z）2≥3（xy+yz+zx）=4，x，y，z＞0．
∴x+y+z≥2．
點(diǎn)評：本題考查了均值不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）由表定義：
x 2 5 3 1 4
f 1 2 3 4 5
若a0=5，an+1=f（an），n=0，1，2，…，則a2013=（　�。�
A、5B、2C、1D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
1
2
x，-sin
1
2
x），且x∈[0，
π
2
]
（Ⅰ）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=
a
•
b
-4m|
a
+
b
|+1的最小值為-
1
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（
π
4
-x）=
3
5
，
17π
12
＜x＜
7π
4
，求
1-tanx
2sin2x+sin2x
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-4x-5＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，若A∪B=R，A∩B=（5，7]，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個頂點(diǎn)B恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，且離心率等于
2
2
，直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C的右焦點(diǎn)F是否可以為△BMN的垂心？若可以，求出直線l的方程；若不可以，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，扇形AOB的弧的中點(diǎn)為M，動點(diǎn)C、D分別在OA、OB上，且OC=BD，OA=1，∠AOB=120．
（1）若點(diǎn)D是線段OB靠近點(diǎn)O的四分之一分點(diǎn)，用
OA
、
OB
表示向量
MC
；
（2）求
MC
•
MD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，證明：tan
A
2
tan
B
2
+tan
B
2
tan
C
2
+tan
C
2
tan
A
2
=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）函數(shù)y=
2
3
sin（
1
2
x-
π
4
）的振幅、周期和頻率各是多少？它的圖象與正弦曲線有什么關(guān)系？
（2）求函數(shù)y=tan（
π
2
x+
π
3
）的定義域、周期與單調(diào)遞增區(qū)間．

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同步練習(xí)冊答案