Question

6個學(xué)生按下列要求站成一排，求各有多少種不同的站法？（用數(shù)字作答）
（1）甲不站排頭，乙不能站排尾；
（2）甲、乙都不站排頭和排尾；
（3）甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰；
（4）甲、乙都不與丙相鄰．

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：對這個幾個事件不同排法和數(shù)的計(jì)算，根據(jù)分步原理與分類原理直接計(jì)算即可
（1）甲不站排頭，乙不站排尾，可按甲在尾與不在尾分為兩類；
（2）甲、乙都不站排頭和排尾，先排排頭和排尾，再排其它；
（3）甲、乙、丙三位同學(xué)兩兩不相鄰，可用插空法進(jìn)行計(jì)數(shù)；
（4）甲、乙都不與丙相鄰，可用排除法計(jì)數(shù)，計(jì)算出甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù)，從總數(shù)中減去．

解答： 解：（1）甲不站排頭，乙不站排尾排法計(jì)數(shù)可分為兩類，第一類甲在末尾，排法和數(shù)有A₅⁵，第二類甲不在末尾，先排甲，有A₄¹種方法，再排乙有A₄¹種方法，剩下的四人有A₄⁴種排法，故有A₄¹×A₄¹×A₄⁴種方法，由此，總排法有A₅⁵+A₄¹×A₄¹×A₄⁴=504；
（2）甲、乙都不站排頭和排尾，先排排頭和排尾，從除甲乙之外4人選2人排在首尾，剩下的4人（包含甲乙）進(jìn)行全排，則共有

A

2 4

•

A

4 4

=288．
（3）甲、乙、丙三位同學(xué)兩兩不相鄰排法可分為兩步解決，先把其余三人排列有A₃³種排法，第二步把甲、乙、丙三位同學(xué)插入由那三個隔開的四個空中，有A₄³種排法，故所有的排法種數(shù)有A₃³×A₄³=144
（4）甲、乙都不與丙相鄰排法種數(shù)可以從全排列種數(shù)中排除甲乙兩人至少有一人與丙相鄰的種數(shù)，故有A₆⁶-2A₂²×A₅⁵+A₂²A₄⁴=288．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，本題在計(jì)數(shù)時根據(jù)具體情況選用了插空法、捆綁法等方法，做題時要注意體會這些方法的原理及其實(shí)際意義．在最后一小問中本題計(jì)數(shù)法把三人相鄰的丙在中間的情況減了兩次，故要加上，此處容易遺漏出錯，做題時切記．