Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，M，N分別是A′B′，BC，C′D′，B′C′的中點．
（1）求證：平面MNF⊥平面ENF．
（2）求二面角M-EF-N的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）欲證平面MNF⊥平面ENF，先證直線與平面垂直，由題意可得：MN⊥EN，MN⊥NF，所以MN⊥面ENF，進一步易得平面MNF⊥平面ENF；
（2）求出S_△MEF=

1

2

•2•

6-1

=

5

，S_△NEF═

1

2

•2•

2

=

2

，即可求出二面角M-EF-N的余弦值．

解答： （1）證明：連接A′C′，B′D′
∵E，M，N分別是A′B′，C′D′，B′C′的中點，
∴MN∥B′D′，EN∥A′C′
又∵A′C′⊥B′D′
∴MN⊥EN
在正方體ABCD-A′B′C′D′中，
∵F，N分別是BC，B′C′的中點，
∴NF∥B′B
又∵B₁B⊥面A′B′C′D′，∴NF⊥面A₁B₁C₁D₁
∵MN?面A′B′C′D′
∴MN⊥NF
∵EN∩NF=N
∴MN⊥面ENF
又∵MN?平面MNF
∴平面MNF⊥平面ENF
（2）解：設正方體的棱長為2，則
△MEF中，ME=2，EF=

6

，MF=

6

，∴S_△MEF=

1

2

•2•

6-1

=

5

，
△EFN中，NE=

2

，NF=2，EF=

6

，∴S_△NEF═

1

2

•2•

2

=

2

，
∴二面角M-EF-N的余弦值為

2

5

=

10

5

．

點評：本小題主要考查空間線面關系，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力