Question

某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S=x+y+z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．先從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下

產(chǎn)品編號	A1	A2	A3	A4	A5
質(zhì)量指標（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，1）	（2，2，2）	（1，1，1）	（1，2，1）
產(chǎn)品編號	A6	A7	A8	A9	A10
質(zhì)量指標（x，y，z）	（1，2，2）	（2，1，1）	（2，2，1）	（1，1，1）	（2，1，2）

（1）利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；
（2）在該樣品中，隨機抽取兩件產(chǎn)品，設“取出的2件產(chǎn)品的綜合指標之差的絕對值”為隨機變量ξ
求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）計算10件產(chǎn)品的綜合指票S，得到S≤4的共6件，由此估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6．
（2）ξ的所有可能取值為0、1、2、3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表：

產(chǎn)品編號	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
S	4	4	6	3	4	5	4	5	3	5

其中S≤4的共6件，
∴該樣本的一等品率為

6

10

=0.6，
由此估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6．（5分）
（2）ξ的所有可能取值為0、1、2、3…6分
P(ξ=0)=

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4

C 2 10

=

2

9

，
P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 4 + C 1 4 C 1 3 + C 1 3 C 1 1

C 2 10

=

23

45

，
P(ξ=2)=

C 1 2 C 1 3 + C 1 4 C 1 1

C 2 10

=

2

9

，
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 1

C 2 10

=

2

45

…10分
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	2 9	23 45	2 9	2 45

所以ξ的數(shù)學期望為：

49

45

．…12分．

點評：本題考查概率的估計值，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要注意排列組合知識的合理運用．