Question

已知函數f（x）=lg

x-1

x+1

；
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由

x-1

x+1

＞0，化為（x+1）（x-1）＞0，即可得出定義域．判定f（-x）±f（x）是否為0即可；
（2）當x＞1時，f（x）單調遞增．當x＜-1時，f（x）也單調遞增．利用單調性的定義和對數的運算法則即可證明．
（3）利用函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）由

x-1

x+1

＞0，
∴（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-1，其定義域關于原點對稱．
f（-x）+f（x）=lg

-x-1

-x+1

+lg

x-1

x+1

=lg1=0，∴函數f（x）是奇函數．
（2）當x＞1時，f（x）單調遞增．
證明：設1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=lg

x1-1

x1+1

-lg

x2-1

x2+1

=lg

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

，
∵（x₁-1）（x₂+1）-（x₁+1）（x₂-1）=2（x₁-x₂）＜0，
∴

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴當x＞1時，f（x）單調遞增．
∵函數f（x）是奇函數，∴當x＜-1時，f（x）也單調遞增．
（3）∵當x＞1時，

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＜1，∴f（x）＜f（1）=0．
同理可得：當x＜-1時，

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1，∴f（x）＞f（1）=0．
∴函數f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性、不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．