Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，并求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=1，y=0，求出f（0），x不變，令y=0，求出f（x）；
（2）化簡(jiǎn)g（x），討論g（x）是單調(diào)增函數(shù)，則區(qū)間在對(duì)稱軸的右邊；若是單調(diào)減函數(shù)，則區(qū)間在對(duì)稱軸的左邊，列出不等式，解出，最后求并集．

解答： 解：（1）令x=1，y=0，則由題意得，f（1）-f（0）=1×2，
∴f（0）=f（1）-2=-2；
令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1），
∴f（x）=x²+x-2．
（2）g（x）=f（x）-ax=x²+（1-a）x-2，
由于g（x）在區(qū)間[-2，2]上單調(diào)函數(shù)，
若是單調(diào)增函數(shù)，則區(qū)間在對(duì)稱軸的右邊，即-

1-a

2

≤-2，解得a≤-3，
若是單調(diào)減函數(shù)，則區(qū)間在對(duì)稱軸的左邊，即即-

1-a

2

≥2，解得a≥5．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)值和函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．