Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂

1-x

1+x

．①討論該函數(shù)的奇偶性．②判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明即可．

解答： 解：①要使函數(shù)有意義，則

1-x

1+x

＞0．解得-1＜x＜1，
∵f（x）=log₂

1-x

1+x

．
∴f（x）+f（-x）=log₂

1-x

1+x

+log₂

1+x

1-x

=log₂（

1-x

1+x

．

1-x

1+x

）=log₂1=0．
則f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
②函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=log₂

1-x1

1+x1

-log₂

1-x2

1+x2

=log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

），
∵

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

-1=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，
∴

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

＞1，
即log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．