Question

已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，且兩個坐標(biāo)系的單位長度相同，直線l₁的參數(shù)方程為

x=2+3t y=1+mt

（t為參數(shù)），直線l₂的極坐標(biāo)方程為ρ（3cosθ+4sinθ）=4，直線l₁與l₂垂直．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）曲線C的參數(shù)方程為

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），曲線C與直線l₁交于A，B兩點，求點M（2，1）到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把直線l₁、l₂的方程化為普通方程，由l₁⊥l₂，求出m的值；
（2）由m=4，把l₁參數(shù)方程化為

x=2+ 3 5 t y=1+ 4 5 t

，C的參數(shù)方程化為普通方程，
把l₁的參數(shù)方程代入C的普通方程，由根與系數(shù)的關(guān)系，求出|t₁|•|t₂|的大�。�

解答： 解：（1）直線l₁的參數(shù)方程為

x=2+3t y=1+mt

（t為參數(shù)），
化為普通方程是mx-3y+3-2m=0；
直線l₂的極坐標(biāo)方程為ρ（3cosθ+4sinθ）=4，
化為普通方程是3x+4y=4；
又∵直線l₁⊥l₂，
∴3m-3×4=0，
∴m=4；
（2）∵m=4，
∴l(xiāng)₁的參數(shù)方程可化為

x=2+ 3 5 t y=1+ 4 5 t

（t為參數(shù)）；
又∵C的參數(shù)方程

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）化為普通方程是，

x2

9

+

y2

4

=1；
把l₁的參數(shù)方程代入得4（2+

3

5

t）²+9(1+

4

5

t)2=36；
即36t²+120t-55=0，
∴t₁•t₂=-

55

36

，
∴|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=

55

36

；
即點M（2，1）到A，B兩點的距離之積為

55

36

．

點評：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)把參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為普通方程，并結(jié)合參數(shù)的幾何意義進(jìn)行解答，是中檔題．