Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n-a_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的前5項(xiàng)；
（2）猜想a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）令n=1、2、3、4、5，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出數(shù)列{a_n} 的前5項(xiàng)．
（2）猜想  an=

2n-1

2n-1

；再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）S_n=2n-a_n，n∈N^*．
計(jì)算得：a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

，a₅=

31

16

，
{a_n}的前5項(xiàng)1，

3

2

，

7

4

，

15

8

，

31

16

；
（2）猜想  a_n=

2n-1

2n-1

；
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①n=1時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即a_k=

2k-1

2k-1

則當(dāng)n=k+1時(shí)，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，
∴S_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴2k-a_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴a_k+1=

2k+1-1

2(k+1)-1

．
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
由①②可知a_n=

2n-1

2n-1

 對(duì)n∈N^•均成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和和數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，求數(shù)列遞推式可以用數(shù)學(xué)歸納法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通項(xiàng)公式