Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx）．設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的取值集合；
（Ⅱ）在角A為銳角的△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，f（A）=6且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得到函數(shù)的解析式，然后，借助于二倍角公式化簡函數(shù)解析式，f（x）=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，然后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解；
（Ⅱ）根據(jù)f（A）=6得到A=

π

4

，然后，根據(jù)三角形的面積和b+c=2+3

2

，構(gòu)造等式，結(jié)合余弦定理求解a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）
=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
=4sin2x-4cos2x+2
=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，
令2x-

π

4

=

π

2

+2kπ(k∈Z)，
得x=

3π

8

+kπ(k∈Z)，
∴f(x)max=4

2

+2，
此時(shí)x的集合為{x|x=

3π

8

+kπ，k∈Z}，
（Ⅱ）由（I）可得f(A)=4

2

sin(2A-

π

4

)+2=6，
∴sin(2A-

π

4

)=

2

2

．
∵0＜A＜

π

2

，
∴-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

．
從而2A-

π

4

=

π

4

，
∴A=

π

4

，
又∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc=3，
∴bc=6

2

，
又b+c=2+3

2

，
∴a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc×

2

2

=(2+3

2

)2-12

2

-2×6

2

×

2

2

=10，
∴a=

10

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了平面向量的基本運(yùn)算、二倍角公式、三角恒等變換公式、三角形的面積公式、余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．