Question

已知，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，△ACD的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2BE．
（Ⅰ）求證：BC=2BD；
（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）連接DE，證明△DBE∽△CBA，即可證明BC=2BD；
（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分線，可得DA=1，根據(jù)割線定理求出BD．

解答： （Ⅰ）證明：連接DE，因?yàn)樗倪呅蜛CED是圓的內(nèi)接四邊形，
所以∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，
所以△DBE∽△CBA，即有

BE

AB

=

BD

BC

，
又AB=2BE，所以BC=2BD           …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知

BE

AB

=

ED

AC

，
又AB=2BE，∴AC=2DE，
∵AC=2，∴DE=1，
而CD是∠ACB的平分線，∴DA=1，
設(shè)BD=x，根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC
即x（x+1）=

1

2

（x+1）[

1

2

（x+1）+1]，解得x=1，即BD=1．             …（10分）

點(diǎn)評：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．