Question

已知

AC

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

），

BC

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)，設f（x）=

AC

•

BC

（1）求f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）設關于x的方程f（x）=a在[-

π

2

，

π

2

]有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標運算，并借助于二倍角公式化簡函數(shù)解析式：f（x）=

2

cos（x+

π

4

），然后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質求解；
（2）根據(jù)方程f（x）=a，得到cos（x+

π

4

）=

2

2

a，然后，結合x∈[-

π

2

，

π

2

]，最后，利用三角函數(shù)的圖象進行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

AC

•

BC

∴f（x）=（cos

x

2

+sin

x

2

）•（cos

x

2

-sin

x

2

）+（-sin

x

2

）•2cos

x

2

=cos（2×

x

2

）-sin（2×

x

2

）-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=2π．
又由2kπ≤x+

π

4

≤π+2kπ，k∈Z，
∴-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，k∈Z．
故f（x）的單調遞減區(qū)間是[-

π

4

+2kπ，

3π

4

+2kπ]（k∈Z）．
（2）由f（x）=a，
∴

2

cos（x+

π

4

）=a，
∴cos（x+

π

4

）=

2

2

a，
又x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，數(shù)形結合得

2

2

≤

2

2

a＜1
∴1≤a＜

2

，
∴a的取值范圍是[1，

2

）．

點評：本題重點考查了三角公式、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．