Question

如圖，過拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，直線AO、BO分別與直線m：x=-p相交于M、N兩點(diǎn)，則

S△ABO

S△MNO

=（　�。�

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AB方程為y=k（x-

p

2

），代入y²=2px整理，表示出△ABO與△MNO的面積之比，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)直線AB方程為y=k（x-

p

2

），
設(shè)M（-p，y_m），N（-p，y_n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=k（x-

p

2

）代入y²=2px整理得k²x²-（2p+2k²）x+

k2p2

4

=0，
∴x₁•x₂=

p2

4

．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在過拋物線C：y²=2px上，
得y1=

2px1

，y2=-

2px2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂-2p

x1x2

，
∵直線AO、BO分別與直線m：x=-p相交于M、N兩點(diǎn)，
∴y_m=-

2p x1

•p，y_n=

2p x2

•p，

OM

•

ON

=p²-

2p3

x1y1

，
∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 AO•BO•sin∠AOB

1 2 MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

x1x2-2p x1x2

p2- 2p3 x1y1

=

x1x2

p2

=

1

4

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．．