已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-an-(
1
2
n-1+2(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=2nan
(Ⅰ)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=log2
n
an
,數(shù)列{
2
cncn+2
}的前n項和為Tn,求滿足Tn
25
21
(n∈N*)的n的最大值.
考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)利用“當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1”及其等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(Ⅱ)先求通項,再利用裂項法求和,進而解不等式,即可求得正整數(shù)n的最大值.
解答: (Ⅰ)證明:∵Sn=-an-(
1
2
n-1+2(n∈N+),當(dāng)n≥2時,Sn-1=-an-1-(
1
2
n-2+2(n∈N+),
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(
1
2
n-1,
化為2nan=2n-1an-1+1.
∵bn=2nan.∴bn=bn-1+1,即當(dāng)n≥2時,bn-bn-1=1.
令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即a1=
1
2

又b1=2a1=1,∴數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.
于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan
∴an=
n
2n

(Ⅱ)解:∵cn=log2
n
an
=n,
2
cncn+2
=
1
n
-
1
n+2

∴Tn=(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+…(
1
n
-
1
n+2
)=1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
,
由Tn
25
21
,得1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
25
21
,即
1
n+1
+
1
n+2
13
42
,
∵f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
單調(diào)遞減,f(4)=
9
20
,f(5)=
13
24
,
∴n的最大值為4.
點評:本題綜合考查了“當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1”及其等差數(shù)列的通項公式、“裂項法”等基礎(chǔ)知識與基本方法,考查恒成立問題,正確求通項與數(shù)列的和是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=
3
2
n(n+1),n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn滿足an=3log2bn,求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn;
(3)設(shè)cn=
9
anan+1
,Rn是數(shù)列{cn}的前n項和,求證:
1
2
≤Rn<1(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知全集U={x|1<x<7},A={x|2≤x<5},B={x|3x-7≥8-2x}求A∩B及∁UA.

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函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x,(x∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱中心坐標(biāo);
(2)若A為銳角三角形ABC的最大角,求f(A)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
,
c
在同一平面內(nèi),且
a
=(-1,2).
(1)若
c
=(m-1,3m),且
c
a
,求m的值;
(2)若|
a
-
b
|=3,且(
a
+2
b
)⊥(2
a
-
b
),求
a
-
b
b
的夾角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有編號為A1,A2,…,A10的10個零件,測量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):
編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
直徑1.521.471.481.511.491.511.471.461.511.47
其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品.
(Ⅰ)從上述10個零件中,隨機抽取一個,求這個零件不是一等品的概率;
(Ⅱ)從一等品零件中,隨機抽取2個.
(i)用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)求這2個零件直徑均大于1.50的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點,直線y=
3
x為C的一條漸近線.求雙曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x),如果同時滿足以下三個條件:①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;②f(1)=1③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x1)成立,則稱為
.
W
函數(shù),下面四個命題:
①若函數(shù)f(x)為
.
W
函數(shù),則f(0)=0;
②函數(shù)f(x)=2x-1,x∈[0,1],是
.
W
函數(shù);
.
W
函數(shù)f(x)一定不是單調(diào)函數(shù);
④若函數(shù)f(x)是
.
W
函數(shù),假設(shè)存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f[f(x0)]=x0則f(x0)=x0
其中真命題是:
 
.(填上所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C的圓心與點M(1,-1)關(guān)于直線x-y+1=0對稱,并且圓C與x-y+1=0相切,則圓C的方程為
 

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同步練習(xí)冊答案