Question

對(duì)于定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)f（x），如果同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₁）成立，則稱(chēng)為

.

W

函數(shù)，下面四個(gè)命題：
①若函數(shù)f（x）為

.

W

函數(shù)，則f（0）=0；
②函數(shù)f（x）=2^x-1，x∈[0，1]，是

.

W

函數(shù)；
③

.

W

函數(shù)f（x）一定不是單調(diào)函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是

.

W

函數(shù)，假設(shè)存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀則f（x₀）=x₀
其中真命題是：

 

．（填上所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：綜合題,推理和證明

分析：①首先，根據(jù)理想函數(shù)的概念，可以采用賦值法，可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0；
②要判斷函數(shù)g（x）=2^x-1，（x∈[0，1]）在區(qū)間[0，1]上是否為

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W

函數(shù)，只要檢驗(yàn)函數(shù)g（x）=2^x-1，是否滿(mǎn)足理想函數(shù)的三個(gè)條件即可；
對(duì)于③設(shè)f（x）=4^x-4已知是

.

W

函數(shù)，同時(shí)也是單調(diào)函數(shù)
④由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當(dāng)m＜n時(shí)，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導(dǎo)出f（x₀）=x₀，根據(jù)f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀．

解答： 解：對(duì)于①取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0，由已知?x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0，故正確；
對(duì)②顯然f（x）=2^x-1在[0，1]上滿(mǎn)足f（x）≥0；②f（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2^x₁+x₂-1-[（2^x₁-1）+（2^x₂-1）]=（2^x₂-1）（2^x₁-1）≥0
故f（x）=2^x-1滿(mǎn)足條件①②③，所以f（x）=2^x-1為理想函數(shù)．
對(duì)于③設(shè)f（x）=4^x-4已知是

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W

函數(shù)，同時(shí)也是單調(diào)函數(shù)，故不正確；
對(duì)于④）∵f（x）為

.

W

函數(shù)，依題意，任意給m，n∈[0，1]，
當(dāng)m＜n時(shí)，必有n-m∈[0，1]，f（n-m）≥0，
∴f（n）=f[（n-m）+m]）≥f（n-m）+f（m）≥f（m），
又x₀∈[0，1]且f（x₀）∈[0，1]，f[f（x₀）]=x₀，
∴若1≥f（x₀）＞x₀≥0，則f[f（x₀）]≥f（x₀），即x₀≥f（x₀）與f（x₀）＞x₀矛盾；
若0≤f（x₀）＜x₀≤1，同理可得f（x₀）≥x₀，與f（x₀）＜x₀矛盾；
∴f（x₀）=x₀，故（4）正確．
故答案：（1）（2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，探討函數(shù)的函數(shù)值域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．著重考查推理論證、抽象思維、創(chuàng)新思維的綜合運(yùn)用．