Question

已知橢圓C₁：＋＝1(0＜b＜2)的離心率為，拋物線C₂：x²＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線C₂的方程；

(2)過點(diǎn)M(－1,0)的直線l與拋物線C₂交于E，F兩點(diǎn)，過E，F作拋物線C₂的切線l₁，l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

解：(1)∵橢圓C₁的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝2，半焦距c＝得b²＝1，

∴橢圓C₁的上頂點(diǎn)為(0,1)，

∴拋物線C₂的焦點(diǎn)為(0,1)，

∴拋物線C₂的方程為x²＝4y.

(2)由已知可得直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為

y＝k(x＋1)，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)．由x²＝4y得y＝x²，

∴y′＝x.

∴切線l₁，l₂的斜率分別為x₁，x₂.

當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，x₁·x₂＝－1，即x₁x₂＝－4.

由，得x²－4kx－4k＝0，

∴Δ＝(－4k)²－4×(－4k)＞0，解得k＜－1或k＞0.①

由x₁x₂＝－4k＝－4，得k＝1，滿足①式，

∴直線l的方程為x－y＋1＝0.