Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³+bx²+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，滿足f′（2-x）=f′（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間（m，n）內(nèi)的圖象從左到右的單調(diào)性為依次為減-增-減-增，則稱該函數(shù)在區(qū)間（m，n）內(nèi)是“W-型函數(shù)”．已知函數(shù)g（x）=（x²+k）•

f′(x)

在區(qū)間（-1，2）內(nèi)是“W-型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由f′（2-x）=f′（x）可得其對(duì)稱軸x=1，據(jù)此可得b值，求出直線y=4x-12與x軸交點(diǎn)（3，0），則f（3）=0，且f′（3）=4，從而可解得c、d值，根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利先求出g（x），求導(dǎo)，然后根據(jù)“W-型函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為方程再區(qū)間的上的根的問題，問題得以解決．

解答： 解：（1）∵f（x）=

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x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=x²+2bx+c，
∵f′（2-x）=f′（x），
∴函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則b=-1．
∵直線y=4x-12與x軸的交點(diǎn)為（3，0），
∴f（3）=0，且f′（3）=4，即9+9b+3c+d=0①，且9+6b+c=4②，由①②解得c=1，d=-3．
∴f(x)=

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x3-x2+x-3
（2）∵f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∴g（x）=（x²+k）•

f′(x)

=（x²+k）•|x-1|=

(x2+k)(x-1)，x∈[1，2) (x2+kx)(1-x)，x∈(-1.1)

當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，g′（x）=3x²-2x+k，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，g′（x）=-3x²+2x-k，
①若g'（x）=0在（-1，1）上有兩根，且g'（x）≥0對(duì)x∈[1，2）恒成立
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，

△=4-12k＞0 g′(-1)＜0 g′(1)＜0

且x∈[1，2）時(shí)，g'（1）≥0，
解得：-1＜k＜

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②若g'（x）=0在（-1，1）上有一根，且g'（x）=0在x∈[1，2）上有一根
x∈（-1，1）時(shí)，

g′(-1)＜0 g′(1)＞0

且x∈[1，2）時(shí)，

g′(1)＜0 g′(2)＞0

解得：-5＜k＜-1
③若g'（x）≤0在（-1，1）上恒成立，且g'（x）=0在x∈[1，2）上有兩根
而x∈[1，2）時(shí)，g'（x）=3x²-2x+k對(duì)稱軸為x=

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，所以不可能有兩根，舍去．
綜上：-5＜k＜-1或-1＜k＜

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點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷及函數(shù)最值的求解，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)有關(guān)性質(zhì)的強(qiáng)有力工具，考查分類討論思想，屬于難題．