Question

7．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，$acosC+\sqrt{3}asinC-b-c=0$
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，利用三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得sin（A-30°）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求A的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式可得4=b²+c²-bc≥bc，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理得：$acosC+\sqrt{3}asinC-b-c=0\\?sinAcosC-\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$
$\begin{array}{l}?sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin（A+C）+sinC\\?\sqrt{3}sinA-cosA=1\\?sin（A-{30°}）=\frac{1}{2}\\?A-{30°}={30°}\\?A={60°}\end{array}$
（Ⅱ）∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)取到．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，考查了三角形內(nèi)角和定理及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．