Question

如圖，已知直線l₁：y=4x+m，（m＜0）與拋物線C1：y=2ax2，(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=17都相切，F(xiàn)是拋物線C₁的焦點．
（Ⅰ）求m與a的值；
（Ⅱ）設(shè)A是C₁上的一動點，以A為切點作拋物線C₁的切線l，直線l交y軸于點B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點M所在的定直線為l₂，直線l₂與y軸交點為N，連接MF交拋物線C₁于P，Q兩點，求△NPQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用圓的圓心與半徑，通過點到直線的距離等于半徑，求出m，張筱雨拋物線相切判別式為0，求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線C₁方程為的焦點．設(shè)A(x1，

2

9

x12)，求出A為切點的切線l的方程，通過x=0，得切線l交y軸的B點坐標(biāo)，然后求出點M的坐標(biāo)，即可證明點M在一條定直線上；
（Ⅲ）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式和距離求出三角形的面積，然后求解△NPQ的面積S的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，圓C2：x2+(y+1)2=17的圓心為C₂（0，-1），半徑r=

17

．
由題設(shè)圓心到直線l₁：y=4x+m，（m＜0）的距離d=

|1+m|

17

，即

|1+m|

17

=

17

，
解得m=-18，（m=16舍去）．…（3分）
設(shè)l₁與拋物線的切點為A₀（x₀，y₀），又y'=4ax，得4ax₀=4⇒x0=

1

a

，y0=

2

a

．
代入直線方程得：

2

a

=

4

a

-18，
∴a=

1

9

，m=-18．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線C₁方程為y=

2

9

x2，焦點F(0，

9

8

)．
設(shè)A(x1，

2

9

x12)，由（1）知以A為切點的切線l的方程為y-

2

9

x12=

4

9

x1(x-x1)．
令x=0，得切線l交y軸的B點坐標(biāo)為(0，-

2

9

x12)
所以

FA

=(x1，

2x12

9

-

9

8

)，

FB

=(0，-

2x12

9

-

9

8

)，
∴

FM

=

FA

+

FB

=(x1，-

9

4

)，
∴M(x1，-

9

8

)，即點M在定直線y=-

9

8

上．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)直線MF：y=kx+

9

8

，代入y=

2

9

x12
得

2

9

x2-kx-

9

8

=0，設(shè)P，Q的橫坐標(biāo)分別為x_P，x_Q
則

xP+xQ= 9k 2 xP•xQ=- 81 16 △＞0

，
∴S△NPQ=

1

2

•|NF|•|xP-xQ|=

1

2

×

9

4

×

81k2 4 + 81 4

；
∵k≠0，
∴S△NPQ＞

81

16

，即△NPQ的面積S范圍是(

81

16

，+∞)．…（13分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的應(yīng)用，三角形面積的求法，弦長公式的應(yīng)用．