如圖，已知橢圓C的方程為
x2
12
+
y2
b2
=1(b2＜12)，且長軸長與焦距之比為
3
：
2
，圓O的圓心在原點O，且經(jīng)過橢圓C的短軸頂點．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）是否存在同時滿足下列條件的直線l：
    ①與圓O相切與點M（M位于第一象限）；
    ②與橢圓C相交于A、B兩點，使得
OA
•
OB
=2．若存在，求出此直線方程，若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導出
2
12
2
12-b2
=
3
2
，由此能求出橢圓C的方程；由已知條件推導出圓O的圓心為原點，半徑為b，由此能求出圓O的方程．
（2）存在．設直線l：y=kx+b（k＜0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），由條件①推導出
x1+x2=
-6kb
3k2+1
x1x2=
3b2-12
3k2+1
，由條件②推導出x1x2+y1y2=2，由此能求出此直線方程．
解答： 解：（1）∵橢圓C的方程為
x2
12
+
y2
b2
=1(b2＜12)，
且長軸長與焦距之比為
3
：
2
，
∴
2
12
2
12-b2
=
3
2
，解得b2=4，
∴橢圓C的方程為
x2
12
+
y2
4
=1．
又∵圓O的圓心在原點O，且經(jīng)過橢圓C的短軸頂點，
∴半徑為b=2，
∴圓O的方程為x2+y2=4．
（2）存在．設直線l：y=kx+b（k＜0，b＞0），
其與橢圓C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2）
由條件①可得|OM|=2，即
|b|
1+k2
=2，
解得b2=4（1+k2），＜1＞
再由
y=kx+b(k＜0，b＞0)
x2
12
+
y2
4
=1
，得：x2+3（kx+b）2-12=0，
整理，得（3k2+1）x2+6kbx+3b2-12=0，
∴
x1+x2=
-6kb
3k2+1
x1x2=
3b2-12
3k2+1
，
由條件②可得x1x2+y1y2=2，
∴x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=2，
∴（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2-2=0，
進而可化簡（k2+1）•
3b2-12
3k2+1
-kb•
6kb
3k2+1
+b2-2=0，
∴9k2-2b2+7=0，＜2＞
綜合＜1＞，＜2＞，解得
k2=1
b2=8
，
又k＜0，b＞0，
∴
k=-1
b=2
2
，∴l：x+y-2
2
=0．
點評：本題考查橢圓方程與圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用，注意函數(shù)與方程思想、等價轉化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+
1
n
），則a5=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在復平面內(nèi)，復數(shù)z=
3-i
1+i
（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)等于（　�。�
A、1+2iB、1-2i
C、1+3iD、-1-3i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1，l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A，B．
（1）若l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程及離心率；
（2）求
FA
AP
的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直線l1：y=4x+m，（m＜0）與拋物線C1：y=2ax2，(a＞0)和圓C2：x2+(y+1)2=17都相切，F(xiàn)是拋物線C1的焦點．
（Ⅰ）求m與a的值；
（Ⅱ）設A是C1上的一動點，以A為切點作拋物線C1的切線l，直線l交y軸于點B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點M在一條定直線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點M所在的定直線為l2，直線l2與y軸交點為N，連接MF交拋物線C1于P，Q兩點，求△NPQ的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長為2，點A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算
（1）設f（x）=e|x|，求
∫
4
-2
f（x）dx的值；
（2）求
C
2
3
+C
2
4
+C
2
5
+…
+C
2
30
的值（結果用數(shù)字作答）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知動點P與平面上兩定點A(-
3
，0)，B(
3
，0)連線的斜率的積為定值-
1
3
．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy中，F(xiàn)是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，圓Q過O點與F點，且圓心Q到拋物線C的準線的距離為
3
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點，求△AOB的面積；
（3）已知拋物線上一點M（4，4），過點M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷：直線DE是否過定點？說明理由．

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